Comerciante y diplomático español. Nacido en el seno de una familia de comerciantes. Vive en Londres un tiempo, educándose en los negocios de la familia. En 1765 es elegido prior segundo del Consulado de Bilbao. En 1768, 1771 y 1774 ejerce como regidor capitular del Ayuntamiento y contador de la Villa. En 1776 es nombrado prior del Consulado. Con motivo de la Guerra de Independencia de los Estados Unidos de Norteamérica, en marzo de 1777 ejerce de intérprete entre el secretario de Estado, Grimaldi, y los representantes del Congreso de las Provincias Unidas de América Septentrional, Benjamín Franklin, Silas Deane y Arthur Lee. En 1779, la declaración de guerra entre España e Inglaterra hace que se produzca un contacto más directo entre Gardoqui y John Adams, ministro plenipotenciario de Estados Unidos. En 1783, año de la firma del Tratado de París por el que se reconocía la independencia de los Estados Unidos, Carlos III nombra a Gardoqui comisario de Guerra, cónsul y agente general en Londres. Un año más tarde, es enviado a Filadelfia como encargado de los negocios del Rey en los Estados Unidos. Entre 1785 y 1789 es embajador de España en la nueva nación.

De vuelta a España, en abril de 1790 es nombrado Director del Ramo de Comercio y Azogues, y encargado interino de los Ministros de Hacienda de España en Indias. Carlos IV lo designa secretario de Estado y del Despacho de Hacienda en 1792, permaneciendo en el cargo hasta 1796. En 1794 es condecorado con la Gran Cruz de Carlos III. Tras su cese en el Ministerio de Hacienda, pasa en noviembre de 1796 como embajador ante la corte de Cerdeña, con sede en Turín, ciudad en la que fallece el 12 de noviembre de 1798.