Segundo de los dos hijos de Hernando de Acuña y Acuña, Caballero de Santiago, Señor de Villafañe y Comendador de la Casa de Córdoba, y de Felipa de Castro y Manrique de Lara, probablemente dama de compañía de la Emperatriz Isabel de Portugal. Su hermano, José, también Caballero de Santiago, llegó a ser Embajador de Felipe II en Saboya.

Tomó la carrera de las armas, a mediados de la década de los años sesenta y en 1574, se encontraba en Túnez, como Capitán de arcabuceros a caballo; intervino en el segundo socorro, enviado a la cercana fortaleza de La Goleta, cuando será hecho prisionero y enviado a Estambul. Nada más recobrar la libertad a mediados de 1575, Martín de Acuña, se ofreció a los servicios secretos de Felipe II.

Enviado a Constantinopla en 1577, con el objetivo propuesto por él, de quemar la flota turca, pronto empezó a sospecharse que sus verdaderas intenciones eran tratar la tregua con el Turco. Aunque fue retirado de la negociación y relegado a un segundo plano, fue recompensado por el Rey con el hábito de Caballero de Santiago y con una pensión vitalicia de 400 ducados anuales.

A finales de junio de 1584, Acuña es detenido en Madrid y encarcelado en la torre de Pinto. La orden partió del propio Felipe II, que instó a que se le procesara y juzgara en secreto por alta traición, concretamente por pasar información a los turcos y corsarios berberiscos y por ser espía francés, enviando información, bajo el seudónimo de Pero Rondela, al Embajador Saint Gouard y al residente Longlée. El 5 de febrero de 1585 fue ejecutado por estrangulamiento en su propia celda en la fortaleza de Pinto.