Hijo del médico vallisoletano Enrique Argüello Rufilanchas y de Isabel Roca de Albornoz, acompañó a sus padres en junio de 1949 en un viaje de éstos a México en el que, por primera vez desde la Guerra Civil, los miembros de la familia de su madre pudieron reunirse, especialmente con su tío Luis Roca del Albornoz, consejero del Consejo Interprovincial de Asturias y León durante la contienda. De acuerdo con la ficha de emigración mexicana, sus padres vivían entonces en Valladolid, ciudad en la que residía su abuelo paterno, el técnico de laboratorio agrícola Adalberto Argüello Alonso y sus tíos Adalberto y Francisco, ambos médicos. Este último fue miembro de la División Azul y, posteriormente, llegaría al empleo de General de Brigada de Sanidad Militar.

Enrique Argüello Roca seguiría los pasos de su padre y sus tíos y tras cursar sus estudios de bachillerato en los jesuitas de Valladolid, en el Colegio San José, se licenciaría en Medicina, desempeñando su actividad profesional primero en Segovia y después en Tírig y Vall d'Alba, localidad esta última en la que se jubiló y cuyo ayuntamiento le rindió un sentido homenajeó en noviembre de 2018 por haber desempeñado su profesión en dicha localidad durante 28 años.