Ingeniero industrial. Hijo de José María Navarro Igual y María Trinidad Alcácer Escobar. Tras recibir su primera formación en casa, fue matriculado en el Colegio Integral e hizo sus estudios de bachillerato en el Instituto Luis Vives; en 1910 se trasladó a Madrid donde se matriculó en la Escuela de Ingenieros Industriales. Allí trabó amistad con Germán Flórez Antón que le puso en contacto con el ambiente de la Institución Libre de Enseñanza.

En 1920 contrajo matrimonio con María del Carmen Alvargonzález Reig. Con ayuda de su familia emprendió la construcción de una fábrica de metales estampados cuya gestión combinó con la docencia en la "Escuela de Artesanos". Allí dio clases de electricidad y una vez que formó parte de la Junta Directiva empezó a acometer mejoras en el centro. Tras conocer a Manuel Cossío desarrollaron una importante amistad; a través de Ontañón y José Giner entró en contacto con residentes y personas cercanas a la ILE en Valencia. Así pudo entrar en el círculo integrado por varios matrimonios entre los que cabe destacar a Elena Jiménez y Lorenzo Miralles, Luis Marchante y Teresa Almenar, Angelina Carnicer, María Moliner y su marido, etc. Por aquellos años asumió la cátedra de Metalografía en la Escuela de Trabajo y montó un laboratorio químico y metalográfico. Su siguiente paso fue en 1930 con la apertura de la Escuela Cossío en las instalaciones de la Escuela de Artesanos. Navarro Alcácer formó parte del Consejo Directivo mientras que Angelina Carnicer fue la encargada de seleccionar al profesorado. Con una pedagogía que seguía los principios de la Institución Libre de Enseñanza, la escuela pudo funcionar gracias a las aportaciones de los padres y a los numerosos voluntarios que impartieron clases sin estipendio económico.

Tras el final de la Guerra Civil Española la Escuela Cossío desapareció como tal; Navarro Alcácer sufrió un proceso de depuración aunque en la década de 1940, y a petición expresa de Manuel Lora Tamayo, se integró en el Instituto del Hierro y el Acero vinculado al CSIC.