Natural de Santiago de Chile. Hijo de José Ramón Cortés y Madariaga y María Francisca de Paula de Azúa

Estudió en la Real Compañía de Guardias Marinas, al egresar sirvió en varios navíos como el San Ildefonso, Europa, las fragatas Pilar, Princesa y Santa Clara; se le comisionó en diversas campañas que tenían por objeto resguardar los intereses de la Corona española en las islas Filipinas y América. A bordo de la Santa Clara, Eugenio Cortés cayó prisionero a manos de los ingleses y fue trasladado al puerto de Plytmouth, Inglaterra. A casi un año, fue puesto en libertad y entonces tuvo posibilidad de regresar al puerto de Cádiz.

Separado temporalmente de la Armada Española, incursionó junto con su primo José Antonio Lavalle y Sugasti en algunos negocios como el tráfico de esclavos de África hacia América, además de expediciones comerciales privadas.

Durante los años que van de 1808 a 1820, Eugenio Cortés había recibido la orden de pasar a los territorios de América del Sur

En 1821, Eugenio Cortés fue comisionado como segundo comandante a bordo de la fragata "Prueba". A su llegada, el proceso emancipador se encontraba muy avanzado. entró en contacto con el personaje que en ese momento era el principal líder del movimiento independentista: Agustín de Iturbide. Tal encuentro marcó la entrada de Eugenio Cortés en la causa independentista de los países americanos, se adhirió al Plan de Iguala, proclamado el 24 de febrero de 1821. Consumada la independencia en enero de 1822, Iturbide le otorgó a Eugenio Cortés el grado de capitán de navío, la más alta jerarquía de la naciente Armada mexicana. Negoció en nombre de la Armada mexicana adquiriendo barcos para la misma en Estados Unidos. En marzo de 1823 Iturbide le concedió el grado de brigadier graduado de la Armada Imperial.

Retorna a Perú en 1829, y una vez instalado solicitó a la Armada y al Senado del Perú, le reconocieran el grado militar que había alcanzado, así como la ciudadanía peruana. Le fue concedido el grado de contralmirante de la Armada peruana y se le otorgo la dirección del Colegio Militar; pero en 1833 por no apoyar un movimiento en contra del recién electo presidente Luis Orbegoso fue acusado de deserción, desobediencia y sedición. Ante ello en 1835 solicitó irse a Valparaíso (Chile), donde residió con su familia hasta su muerte en 1849.