Funcionario de correos desde 1918, como administrador de la estafeta de Quesada (Jaén). En 1923 formó parte del grupo que fundó el "Colegio Moderno", del que era, según el folleto que se publicó como presentación del colegio, administrador y profesor de Geografía y Literatura. Miembro activo del sindicato de Correos.

Al proclamarse la II República formó parte del grupo de jóvenes quesadeños, de carácter democrático y liberal, que al advenimiento de la República apoyaron el nuevo régimen. Inicialmente miembro del Partido Radical de Alejandro Lerroux, participó en la escisión que de su sector más centrista encabezó Diego Martínez Barrio. Por ello fue uno de los fundadores en Quesada de Unión Republicana. Siendo ministro de Comunicaciones Manuel Blasco, de Unión Republicana, Juan Arroquia fue nombrado administrador principal de Correos de Jaén donde le sorprendió la Guerra Civil.

Durante aquellos primeros meses de guerra fue nombrado presidente del Comité Provincial de Unión Republicana y vicepresidente de la Asociación de la Prensa de Jaén. Antes de salir de Jaén, en junio de 1937, fue nombrado vocal de la Junta Delegada de Protección, Incautación y Salvamento del Tesoro Artístico de Jaén. Pocos meses después, en plena mudanza del Gobierno desde Valencia a Barcelona y a propuesta del ministro de Comunicaciones, Giner de los Ríos, fue nombrado Director General de Correos.

En 1939 se exilió en Francia, donde vivió casi hasta su muerte. Los primeros años del exilio fueron especialmente duros, aunque Juan Arroquia continuó en Francia ayudando a sus compañeros expatriados. Con el apoyo de los sindicatos franceses negoció con el Ministerio de Comunicaciones francés la contratación de funcionarios españoles refugiados en Francia. El 24 junio de 1945, en Toulouse, fue nombrado presidente del llamado Bloque Postal, organización que tenía como finalidad la ayuda a los funcionarios de Correos represaliados por los franquistas.

En Francia Juan Arroquia se dedicó profesionalmente a la enseñanza del español. Su actividad radiofónica también fue destacable; la desarrolló desde 1951 en la ORTF (Oficina de Radiodifusión Televisión Francesa en español). Trabajó a las órdenes directas de André Camp, director de las emisiones en español. En 1961, según le cuenta por carta a su primo Juan de Mata Carriazo Arroquia, pasó a la plantilla de ORTF. Se jubiló por edad en esta institución en septiembre de 1964.

De la correspondencia que mantiene con su primo, se conoce que Diego Martínez Barrio, al que le unía una gran amistad, le cedió su archivo antes de morir.