Bibliotecario y literato. Estudió Filosofía y Teología. Enseñó Disciplina Eclesiástica, Derecho Natural y de Gentes, e Historia Literaria en los Reales Estudios de San Isidro.

Ingresó en la Biblioteca de San Isidro el 11 de septiembre de 1798 donde alcanzó el puesto de bibliotecario director en 1814. En 1815 fue elegido académico de la Real Academia Española, aunque quedó como supernumerario, y no alcanzó plaza de número hasta 1818. También fue miembro honorario de la Academia Latina Matritense.

En 1822 se creó la Universidad Central, inaugurada el 7 de noviembre, con sede en los mismos Reales Estudios, y Arrieta se convirtió en el primer director de la Biblioteca. Pero duró poco, pues tras la nueva invasión francesa, Fernando VII fue repuesto como Rey absoluto, y la disposición por la que se creaba la Universidad quedó sin efecto. En 1823, los jesuitas recuperaron el Colegio Imperial, y García de Arrieta abandonó su puesto y se exilió en Francia. Por su implicación en la política del Trieno Constitucional, se le privó de los honores de bibliotecario en 1824. De su actuación en los años posteriores, hasta su muerte en París en 1835, se conocen principalmente sus trabajos literarios, como las ediciones de las Obras escogidas de Cervantes (París, 1826 y 1827).

Entre sus trabajos se encuentran traducciones de obras italianas y francesas, como Las leyes eclesiásticas sacadas del Nuevo Testamento, traducción del italiano al español (Madrid, Benito Cano, 1793), y la Introducción a la Sagrada Escritura, traducción del francés de Bernard Lamy (Madrid, Benito Cano, 1795), destinadas probablemente a servir de libros de texto en los Estudios de San Isidro; de comedias alemanas (aunque a través de versiones francesas), como La misantropía y el arrepentimiento, de August von Kotzebue (Madrid, Fermín Villalpando, 1800), y El Conde de Olsbach, de Johann Christian Brandes (Madrid, Benito García, 1801); y recopilaciones de máximas o aforismos sacados de las obras de Fenelon (El espíritu de Telémaco, Madrid, 1796) y de Cervantes (El espíritu de Miguel de Cervantes Saavedra, Madrid, 1814, y París, 1827).