Compositora, pianista y profesora española. Nació en Madrid, hija de María Bellido Díaz y de Pantaleón Rodrigo Falces, profesor de música, ambos naturales de Navarra. Recibió sus primeras nociones musicales de su padre. En el conservatorio madrileño siguió los estudios de piano con José Tragó, concluyéndolos en 1902 con premio fin de carrera, y los de composición con Emilio Serrano en 1911. Becada en dos ocasiones por la Junta de Ampliación de Estudios (JAE), continuó su formación en composición y orquestación en Francia, Bélgica y Alemania. En Múnich fue alumna de Anton Beer-Walbrunn, por lo tanto, compañera de estudios de Wilhelm Furtwängler y de Carl Orff con quien compartiría su interés por la pedagogía musical. También recibió clases de Richard Strauss.

El estallido de la Primera Guerra Mundial precipitó su regreso a España sin haber concluido el último curso de la beca, aunque durante su estancia en Alemania escribió ya algunas obras significativas de su catálogo. Desde entonces, repartió su actividad entre sus giras de conciertos como pianista, sus clases en el Conservatorio de Madrid, su labor como pedagoga y sus trabajos como compositora. En este aspecto, alcanzó notoriedad y consideración entre sus colegas, como Joaquín Turina, con quien mantuvo gran amistad, con el estreno de su ópera en un acto "Becqueriana"en el Teatro de la Zarzuela el 9 de abril de 1915, con libreto de Serafín y Joaquín Álvarez Quintero. En 1917, la Orquesta Filarmónica de Madrid, bajo la batuta de Bartolomé Pérez Casas, estrenó "Impresiones sinfónicas" con enorme éxito. En 1920 comenzó a trabajar en el Teatro Real como pianista concertante. La obra para orquesta que, por su carácter didáctico, alcanzó gran difusión fue "Rimas infantiles", estrenada en 1930. También fue muy popular su ciclo de canciones para soprano y piano "Ayes" (1924).

Colaboró con María Lejárraga y su esposo Gregorio Martínez Sierra en su famoso proyecto Teatro de Arte, poniendo música a títulos como "Linterna mágica" (1921), "El pavo real" (1922) y "Canción de amor" (1925) estrenados en el Teatro Eslava de Madrid. En 1932 publicó junto a la escritora Elena Fortún "Canciones infantiles", trabajo recopilatorio con fines pedagógicos. Estuvo vinculada tanto al Lyceum Club Femenino como a la Asociación Femenina de Educación Cívica, fundada por María Lejárraga.

En 1939 se exilió con su hermana Mercedes a Suiza, donde ésta había realizado los estudios de psicología. Residieron en Ginebra, pero en 1941 ambas se encontraban ya en Bogotá. En la capital colombiana, durante ocho años, continuó sus labor docente y compositiva, dando clase hasta en tres centros musicales.

En 1951 las dos hermanas Rodrigo Bellido comenzaron sus actividades docentes en el Recinto de Río Piedras de la Universidad de Puerto Rico, país al que se habían trasladado y donde María residió el resto de su vida. En esa universidad habían recalado, durante estos años, otros exiliados como Juan Ramón Jiménez y su mujer Zenobia Camprubí, María Zambrano, Pablo Casals, José de los Ríos y Francisco Ayala, entre otros. María Rodrigo fue en esta etapa profesora de solfeo y directora de varios coros, ayudó a Pablo Casals en la fundación del Conservatorio de Puerto Rico, del que luego ella misma sería profesora, además de participar activamente en diversos círculos artísticos del país. Falleció, cumplidos los 79 años de edad, en la capital portorriqueña donde siempre se le reconoció su faceta de gran pedagoga musical. Como compositora, su catálogo lo integran obras sinfónicas como: "Obertura para orquesta" (1912), el poema sinfónico "Mudarra" (1914), "Alma española", "Impresiones sinfónicas" (1917) y "Rimás infantiles" (1930); óperas como "Salmantina" (1914), "Becqueriana" (1915) "Canción de amor" (1925),;zarzuelas como "Diana cazadora" (1915), "La reina amazona" (1919), "Las hazañas de un pícaro" (1920), "La romería del Rocío" (1921), y los ballets "La cenicienta" (1941) y "La carta, el guante y la rosa" (1945). También compuso piezas para piano como "Sonata" (1911) o "La copla intrusa" (1930); canciones para voz y piano como "Ayes" (1924), "Desperté y la vi: canción española" (1924), "Trovador de Jabaloyas" (1930) o "Tú eres la rosa, yo soy el lirio" (1931); y música de cámara como "Cuarteto para instrumentos de arco" (1913) y "Quinteto para piano e instrumentos de viento" (1913).